圆锥曲线

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学习要点

学习圆锥、圆上点的动画及轨迹的构造,进一步熟悉平移、反射等变换。

绘图目标

操作步骤

1.

用【三维】视图工具切换到三维图形模式,单击【定位图】工具,打开对话框,选择圆锥,如图填写参数,添加一圆锥,顶点为原点;改中心为(0,0,3),方向为(0,0,-1),其它同上,添加另一 个对顶的圆锥,删去一个顶点B,如图。

定位图中的对象都是固定位置的,不能拖动它改变位置,它常作为复杂图形的框架,以此为基础再添加动态对象。

2.

用【点】工具在圆A上单击添加圆上的点E,用【线】工具连结DE、AE、AD,添加面DAE,并【填充】颜色。选中点E,用【动画影音】命令添加按钮,在按钮左边区域(操作柄)单击选中按钮,拖动改变按钮的位置。再右击按钮的操作柄,在弹出的快捷菜单中选【属性】(或双击按钮操作柄),在对话框中改次数为“循环”,速度为“中速”(也可在初建按钮时修改),留意一下其它参数。如图。

点E是圆上的点,它的位置由圆的参数方程中的θ决定,动画按钮中的参数范围[0,6.28319]就是指按钮可以改变θ,使其从0到6.28319,每次改变量由参数增速决定。点击动画按钮,点E可绕圆A转动。达到终值如果不反向或循环,动画停止。修改按钮属性,观察效果,理解每个参数的作用。

3.

下面考虑加入一个可动的截面。选中两个圆、两圆心、两圆锥侧面(点击母线),单击【编辑】-【剪贴板】-【复制】按钮。【新建页】(功能区右上方+)增加一页,在左侧【对象列表】中将页名称改为“圆锥曲线”。用【编辑】-【剪贴板】-【粘贴】命令粘贴上页复制的对象。修改圆心为O、O’,连结OO’,用【点】工具在OO’上单击添加直线上的点A;选中点A,用【构造】-【点】-【平行线上点】-【平行于X轴】命令添加点B,如图。拖动点A或点B,可见AB始终平行于X轴。

4.

用【】工具依次点击A、B、O'三点构建以A为圆心且过点B的圆(O'为圆所在面内一点),右击鼠标进入【箭头】选择状态。用【点】工具或选中圆后单击【点】工具,添加圆上的点C,如图。

5.

选中A、B、O’,用【点】工具或用【构造】-【点】-【垂线上等距点】命令作出点D,它满足AD⊥AB,AD⊥AO',AD=AB。选中点A,用【变换】-【标志中心】工具,把A标为对称中心;选中A、D,用【变换】-【标志向量】,把AD标作平移向量。选中点C,用【变换】-【反射】,不改对话框中的参数,确定,得点C’(也可用圆上旋转点得到),C与C'关于点A对称;选取点C、C',用【变换】-【平移】命令,得点C’、C".选中刚得到的这两点,用【变换】-【反射】,得两点C"、C"'.选取新近得到的四点,用【线】工具连成正方形,如图。想一想为何是正方形,各个点如何控制这个平面的位置。

6.

选中四顶点,用【面】工具添加“消隐面”。选中圆A,线段OO’及所有暗红色的点,用【隐藏/显示】工具隐藏它们,留下自由点A、B、C。用【常用】-【添加】-【坐标点】工具加入圆锥顶点E(0,0,0),添加圆上的点F,点F关于点E的对称点F'及线段F'F,如图。

7.

选中线段F'F及平面,用【点】工具画出圆锥的母线与平面的交点G。当点F在圆上旋转时,点G的轨迹就是平面截圆锥面的截线,即圆锥曲线。选中点G,用【显示】-【踪迹墨迹】-【追踪对象】命令,添加对点G的追踪,再来拖动点F,可见点G的踪迹,如图。选取点G,用【显示】-【踪迹墨迹】-【取消追踪】(还是刚才的按钮)命令,停止追踪。绘图区空处双击鼠标【擦除痕迹】。

8.

如何留住踪影呢?选取主动点F和从动点G,用【轨迹曲线】命令添加对象G的轨迹,选中之修改颜色,在【属性】对话框中修改精度为“0.04"。隐藏点E、点G、点F、线EF,如图。拖动点C,改变轨迹的形状,可分别得到椭圆、抛物线、双曲线等。拖动A、B观察平面位置与方向的变化。

9.

选中点C,用【动画影音】工具或【编辑】-【操作类按钮】-【动画】命令添加动画按钮,代替手工拖动。选中平面,在【属性】对话框中修改显示方式为“填充颜色”(或用【填充】命令),改变其颜色,隐藏一些不必要的对象。结果如课前的效果图。单击按钮观看动画。

10.

选中圆锥面、平面及点B、C,用【光照】工具,添加光照效果。修改点的标签,轨迹属性中改为“仅实线”,隐藏其它一些对象。