圆锥曲线工具

返回帮助目录

(1)【椭圆(曲线)】工具:匹配坐标原点。椭圆是用含参的曲线方程构造的。

点击“隐藏”按钮,隐藏准线等。拖动点A(或点B),可使焦点在y轴上:

本工具可显示两种类型的椭圆。右击鼠标,【显示所有隐藏】。选中各值,【显示标签】。查看制作原理。

 

(2)【双曲线(曲线)】工具:匹配坐标原点。点击“显示”按钮,显示准线、渐近线等:

 

(3)、(4)【抛物线(左右方向,曲线)】工具、【抛物线(上下方向,曲线)】工具:匹配坐标原点。

 

(5)【椭圆(轨迹)】工具:匹配坐标原点。点击“显示”按钮,显示准线等:

制作原理参看下图,点D在圆上运动时,点G的轨迹即是椭圆。

 

(6)【双曲线(轨迹)】工具:匹配坐标原点。点击“显示”按钮,显示准线、渐近线等:

制作原理参看下图,点D在圆上运动时,点G的轨迹即是双曲线。

 

(7)【抛物线(轨迹)】工具:匹配坐标原点。

制作原理参看下图。根据抛物线的定义,点C在准线上运动时,CF的垂直平分线与过C的准线的垂线的交点P的轨迹即是抛物线。

 

(8)【椭圆/双曲线】工具:匹配坐标原点。

制作原理参看下图。根据椭圆的定义,点D在圆上运动时,DF2的垂直平分线与直线F1D的交点G的轨迹即是椭圆。

拖动点A到点F2的左侧,则轨迹为双曲线:

其原理为下图。点D在圆上运动时,DF2的垂直平分线与直线F1D的交点G的轨迹是双曲线。

 

(9)【抛物线(顶点+焦点)】工具:匹配两个定点。抛物线开口方向任意。

 

(10)【圆锥曲线统一定义】工具:匹配焦点,轴方向可调。

制作原理参看下图。根据圆锥曲线统一定义,根据极坐标方程,点E在圆(半径为p)上运动时,以F为中心,点E按比e/(1-ecosθ)缩放的点G的轨迹即是圆锥曲线。

 

(11)【过椭圆外一点画切线】工具:依次匹配椭圆外一点、椭圆的两焦点、椭圆上任一点(当然可以是顶点)共四个点。

制作原理参看下图。其中圆F1的半径为EF1+EF2=2a,圆P半径为PF2,交点为I、J. F2I、F2J的中点分别是G、H,则直线PG、PH就是切线,与F1I、F1J的交点S、T就是切点。

 

(12)【过双曲线外一点画切线】工具:依次匹配双曲线外一点、双曲线的两焦点、双曲线上任一点(当然可以是顶点)共四个点。

制作原理参看下图。其中圆F1的半径为|EF1-EF2|=2a,圆P半径为PF2,交点为I、J. F2I、F2J的中点分别是G、H,则直线PG、PH就是切线,与F1I、F1J的交点S、T就是切点。参看【椭圆/双曲线】工具的原理说明。

 

(13)【过抛物线外一点画切线】工具:依次匹配抛物线外一点、抛物线的顶点、焦点共三个点。

制作原理参看下图。抛物线的准线与以PF为半径的圆P交与点G、H,FG、FH的中点分别是I、J,则直线PI、PJ就是切线,与FO的平行线GS、HT的交点S、T就是切点。参看【抛物线(轨迹)】工具的原理说明。

(14)-(15)【过椭圆(双曲线)上一点画切线(法线)】、【过双曲线(椭圆)上一点画切线(法线)】工具:依次匹配曲线上一点、曲线两焦点共三个点。

制作原理:根据圆锥曲线的光学性质,法线或切线分别为三角形F1PF2的角平分线PE或外角平分线PD。

 

(16)【过抛物线上一点画切线】工具:依次匹配抛物线上一点、抛物线顶点、抛物线的焦点共三个点。

制作原理:建立如图所示的平面直角坐标系,易求得切线方程,从而得其与y轴交点坐标。点H为点P在y轴上投影。可证得H、B关于点O对称。

 

(17)【椭圆(中心+长短轴两端点)】工具:依次匹配椭圆中心、长轴一端点、短轴一端点共三个点。可画三维空间各方向的椭圆。

制作原理看下图:

 

(18)【双曲线(中心+实虚轴两端点)】工具:依次匹配双曲线中心、实轴一端点、虚轴一端点共三个点。可画三维空间各方向的双曲线。

制作原理看下图:

 

(19)【直线与椭圆相交】工具:分别匹配椭圆的中心、椭圆所在平面内一点。

制作原理:先用【椭圆(曲线)】工具添加一个椭圆,再加入上面一点M,关键是如何添加直线DM与椭圆的另一交点N呢?

设M(x1,y1),DM方程为y=k(x-x1)+y1,与椭圆方程联立方程组,消去y,根据根与系数的关系可解得几何图霸,又y2=k(x2-x1)+y1,加入坐标点(x2,y2,0),即可得另一交点N。当然点O坐标未必就是(0,0,0),只要运用坐标的平移公式即可。

运用计算的方法求交点比用【交点】命令制作要好。

 

(20)【直线与双曲线相交】工具:分别匹配双曲线的中心、双曲线所在平面内一点。

制作原理类似于上一工具。根据M、D的坐标求出另一交点N的坐标。

 

(21)【直线与抛物线相交】工具:分别匹配抛物线的顶点、抛物线所在平面内一点。

制作原理仍是根据M、D的坐标求出另一交点N的坐标。

 

(22)【直线与有心二次曲线的另一交点】工具:匹配二次曲线方程中的二次项系数之比值及曲线所在平面内一点。

例如,先构建中心在原点的椭圆,度量其与x轴交点的横坐标a以及与y轴交点的纵坐标b,计算的值(写出椭圆方程,不难知道此值即为二次项系数之比λ),构建椭圆上任一点P、平面内一点D,如图。可得直线PD与椭圆另一交点Q。

制作原理:中心在原点的椭圆或双曲线的方程一定可化为:,记

设点P(x1,y1)、Q(x2,y2),因PD方程为,与曲线方程联立可解得

,从而得,由此可绘制另一交点。

建议绘制直线与椭圆(或双曲线)相交的有关图形时多用此工具。

 

返回帮助目录