2.12 迭代与迭代像

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迭代概述

迭代就是把一个动作或操作重复一定次数,数学上是指把某些数学结构、计算或其它操作的过程重复应用于先前的相同操作的结果。这些操作必须根据某些输入来定义输出,迭代用每一步的输出作为下一步的输入。

您可以使用迭代创建重复的变换,产生分形和其它自相似的对象,或产生其它(几何或数值的)序列和数列。

在代数中,迭代是一种用输入值计算输出值的重复计算,它重复地使用从 前一个计算中得到的计算结果作为下一个计算的输入值。

请结合函数的迭代去理解:“已知函数f(x), 定义函数y=f(f(f(x)))”.

例1

在图霸中定义一个参数a,初值为1。选中a,添加“计算”a+2。如图。类似于 f(x)=x+2.

几何图霸

当输入值a变为“加2”的输出值3时,即a=3,“加2”运算的新的输出值就是5,而再把输入值a变为5时,又会产生新的输出7。迭代这个操作就会产生输出序列:3,5,7,9,11,13……,如下图:

几何图霸

在几何中,迭代是将一种操作重复应用于一组几何对象后生成新一组对象,原来对象的集合作为输入,新的集合 作为输出。

例2

在图霸中构造线段AB,A点按向量(1,0,0)平移到A'。如图。

几何图霸

我们把点A作为输入,那么平移变换的输出就是点A'。而当输入为A',即点A移到A'时,A点的后辈(包含线段AB、点A')必将产生新的移动,即产生新的输出。迭代这个操作就会产生一系列的线段A'B、点A'。如图:

几何图霸

从例中可见,要开始迭代过程,必须有一个初值,这个初值叫原像,如例1中的参数a,例2中的点A。而例中的“加2”或“平移”可看作在序列中从每个值或图形到下一个的映射。这样,我们可以说“11”在操作“加2”下映射到“13”。整个迭代就定义为原像和映射操作。当你应用一次该操作到原像时,结果就是原像按该操作映射的第一个。当你迭代该操作时,就生成第二、第三和第四个像,等等。如例2 中的A'就是A的像,所有像与初像有相同的名称和显示属性,因为它们只是把初像显示在不同的位置。

构建迭代

使用工具按钮或绘图命令构造一个图形。在这个图形中选取一组相互独立的点或值用来生成(通过您所希望的任何数学关系)一组数量相等的依赖对象(点或计算数值)。独立的对象就是迭代的原像,而相应的依赖对象称为迭代的初像。然后用【变换】-【迭代】几何图霸命令指示原像与初像之间的映射。“迭代”对话框允许您指定您希望迭代结构的次数。结果是原像的各次迭代的以及依赖于原像的各个对象的集合。

由此,您应理解构建迭代的条件:迭代中的原像只能是点或值,且必须相互独立,即互相之间无上下代关系,类型为值的原像还必须是自独立的,即无父母,只能是参数或独立的计算值。并且在绘图中必须定义计算和几何对象的像,即原像要有同类型后代。

下面举例说明迭代的构造:

例3

1。构造一个三角形ABC,其顶点为“全自由点”,在其三边上各取一点D、E、F,如图。显然,三线段与三点D、E、F都是A、B或C的后代。在构造迭代前,您想象一下:如果点A、B、C分别移到即映射到其对边上的点D、E、F处,那么它们的后代(三线及三点)会移到何处。

几何图霸

2。选取A、B、C三点作为原像,用【变换】-【变换】-【迭代】命令,打开“迭代”对话框。在映象中依次选取点D、E、F,前面原像会自动更新。建立映射:A→D,B→E,C→F,其中D、E、F为初像。按“确定”按钮关闭对话框。

几何图霸

3。初像点D、E、F,标签自动隐藏。选中点D,它的都同时变色。选取一个迭代的初像,它的第二、第三·······个像也同时选取,删除一个原像将删除整个迭代图。

几何图霸

4。三角形DEF把原三角形分为四个小三角形,上图中的迭代总映射到中间小三角形中,是单一的映射。能否在另三个中建立类似的映射呢?这时就要用到多重映射。如下图所示,在第二步“迭代”对话框中,点击“增加映射”按钮,依次再添加三个映射。每个映射都把三角形ABC的顶点映射到小三角形的顶点,这里的三个点可暂不考虑顺序。

映射#1:A→D,B→E,C→F;这个映射大三角形到中间的一个小三角形

映射#2:A→A,B→F,C→E;这个映射大三角形到上边的一个小三角形

映射#3:A→F,B→B,C→D;这个映射大三角形到左边的一个小三角形

映射#4:A→E,B→D,C→C。这个映射大三角形到右边的一个小三角形
最后点“确定”按钮,完成迭代构建。请见下图框中四次映射的像。

几何图霸几何图霸

迭代属性

在迭代图或迭代数据表上点击鼠标,所有像显示为(粉)红色,表示已选取了该迭代图。用【对象属性】命令或双击对象弹出“迭代属性”对话框。修改后可立即观看效果,初步理解各选项的含义。满意时关闭。结果如上右图。

在选中迭代图的同时选中一个参数值或度量值,再用【对象属性】命令可直接在对话框中将此值设置为迭代的深度,此深度是可以动态变化的。

几何图霸

1。迭代属性对话框的“创建”栏中的图元是原像的后代,选中时将为之创建迭代像,否则不创建像。可以为迭代、形迹等复杂的对象创建像。但图霸不为图片、度量坐标创建像,这一栏中不会出现这些类型的对象。上图中未选取D、E、F三点,因而迭代图中无它们的像点(仅有未迭代时的六个点)。

2。显示数据表:当迭代中有数值像时,如果选取则显示迭代的数据表,否则不显示。

3。迭代深度:这个数值确定迭代重复多少次。可用的最小值为1;最大值依赖于迭代。对于包括不止一个映射的复杂迭代,其最大值要小。如例3中,一次迭代把一个三角形分为4个,二次迭代分为16个,三次则为4*4*4个。这是一个指数关系,增长很快,因而图霸对可用的最大值进行了限制,不要造成死机。

您可以通过选定一个迭代并按小键盘中的“+”或“–”键调整迭代次数而不用访问属性,这较方便,去试一试。

4。显示完整迭代:选中它将显示迭代的所有的像(各次迭代的像);否则,仅显示末次迭代的像,该次数即所设置的迭代深度。

5。仅显示实线:由于三维图形中有许多图元可表示出特殊的显示方式。如面有填充方式、线有虚线模式、点的显示也有多种。如果图形复杂,全部构造迭代像时,屏幕上将分不清重点,比如各点的标签都显示时。这时可以仅显示实线,尤其是二维图形。

6。设置颜色方案:【迭代】可以设置颜色方案: 使用原像颜色;不同深度异色;图元自身颜色 。下图迭代中每一个深度一种颜色:

几何图霸

 

下面再举一个几何+代数的迭代:

例4

1。构建原像:加入三个坐标点(或全自由点并锁定拖移),坐标为A(-4,-4,-8),B(4,-4,-8),D(-4,4,-8),这是三个固定点,相互无上下级关系。

2。构建立方体:选中D、A、B,【插入】-【多边形】-【平行四边形】,选取四点D、A、B、C,用【面】工具构造“平面”。选取A、B、D,构造平面的垂线上的等距点E。选取点E及面ABCD,用【柱】体工具得到一个正方体(不要用【体】工具一步画这个正方体,否则三个原像不独立了)。【度量】线段AB的【长度】,改名为“棱长”,【计算】棱长的立方,改名为“体积”。

几何图霸

3。构建初像:选中上底四线段,用【点】工具加入四个中点I、J、K、L,选中两点E、G,构造中点M。这时,全部图形皆以A、B、D三点为条件,其余皆是其的后代。如上图。

4。建立映射:选取三点A、B、D,用【变换】-【迭代】命令,弹出对话框,如图添加二重映射,目的是在正方体肩上放两个小正方体。

几何图霸

5。完成迭代:点“确定”按钮,添加“迭代像”,选取所有点,隐藏A、B、D标签。如图。

几何图霸

6。修改属性:点击迭代图,选取整个迭代。用【对象属性】工具,打开“迭代属性”对话框。左栏中去掉所有点的前面的勾号,不为点创建像,修改标签、迭代深度后“确定”。如下图。

几何图霸

7。修改点线面的属性:在一条线上右击,选用【对象属性】项,在线属性对话框中修改线的显示方式为“仅实线”,并勾选“用于当前页已有线”。隐藏所有点。按【Ctrl+F】键选取所有面,【填充】颜色,修改一些图元的颜色,结果如下图。

几何图霸

8。调整迭代深度:按住迭代标签,可以拖动数据表。点击迭代数据表或单击图元,选取整个迭代。按“+”、“-”键改变迭代的深度。观察数据表中各项之间的联系。

9。“迭代属性”对话框中,取消对所有线的迭代,并不显示数据表,确定。再选中下面正方体的一个面,光照处理,选择贴图,并把显示方式用于本页已有面。效果如图。

几何图霸

 

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